Tuesday, December 11, 2012

Materi Kaidah Pencacahan - Peluang

Dalam pembahasan materi kaidah pencacahan - yang merupakan bagian dari materi peluang - kita akan membahas beberapa hal terkait kaidah pencacahan. Sebagai ilustrasi, kaidah pencacahan ini merupakan suatu aturan dasar dalam pencacahan dalam kaitannya dengan peluang. Untuk lebih jelasnya silahkan mengikuti pembahasan materi kaidah pencacahan - peluang berikut ini.

Kaidah perkalian yang akan kita bahas kali ini akan meliputi beberapa pembahasan tentang hal-hal sebagai berikut:
  • Aturan perkalian 
  • Faktorial
  • Permutasi
  • Kombinasi

Aturan Perkalian

Misalkan
• operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1 cara;
• operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2 cara;
• operasi k dapat dilaksanakan dalam nk cara.
Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalah n = n1 × n2 × n3 ... × nk.

Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).

Jawab:
Untuk posisi tekong
Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnas yang tersedia.

Untuk posisi apit kiri
Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atlet lagi tidak terpilih karena menjadi tekong).

Untuk posisi apit kanan
Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara dari 13 atlet yang ada ( 2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi tekong dan apit kiri).

Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 × 13 = 2.730 cara.

Ingatlah!
Apabila terdapat n buah tempat yang akan diduduki oleh n orang, terdapat: n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1
cara orang menduduki tempat tersebut.

Faktorial

Anda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara. Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca 3 faktorial). Jadi, 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

Dengan penalaran yang sama
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 120
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720

Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.
n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 3 × 2 × 1, dengan n bilangan asli, untuk n ≥ 2.
b. 1! = 1
c. 0! = 1

Permutasi

Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur adalah 4 × 3 × 2 = 24. Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dapat ditulis sebagai berikut:








Kombinasi

Pada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang dari 5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lain halnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat diterangkan sebagai berikut.

Dari Subbab A.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsur dari 5 unsur, yaitu
ABC ADE BCD CAB CDE DBC EAB ECD
ABD AEB BCE CAD CEA DBE EAC EDA
ABE AEC BDA CAE CEB DCA EAD EDB
ACB AED BDC CBA CED DCB EBA EDC

ACD BAC BDE CBD DAB DCE EBC
ACE BAD BEA CBE DAC DEA EBD
ADB BAE BEC CDA DAE DEB ECA
ADC BCA BED CDB DBA DEC ECB

Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan itu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan tersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, dan CDE. Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebut kombinasi.

Kombinasi r unsur dari n unsur ialah himpunan bagian r unsur yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan penyusunan unsur tidak diperhatikan.


Sumber
BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matatematika Prog IPA Wahyudin Djumanta & R Sudrajat